Fazekas László 1947. október 15-én született Budapesten. A legendás újpesti védő, Balogh II Sándor állította be először a felnőttcsapatba. 1965. november 7-én játszotta első NB I-es mérkőzését, a Megyeri úton góllal mutatkozott be a Dorog ellen (2:2). A bajnokság utolsó fordulójában a lila-fehérek a Szentmihályi – Kárpáti, Csordás, Sóvári – Solymosi, Krivitz – Fazekas, Göröcs, Bene, Solymosi II, Zámbó tizeneggyel játszottak, vagyis a védelem és a fedezetsor (a kapus, a balhátvéd és a jobbfedezet kivételével) kifejezetten tartalékos volt, de már majdnem összeállt a nagy támadóötös, csak a sérült Dunai II Antal hiányzott – olvasható róla a hajramagyaok.hu-n.

Fazekas a következő, 1966-os évben csak tíz bajnokin játszott, négy gólt szerzett. Akkor Kuharszky Béla volt az első számú jobbszélső, ám 1967-ben, alig túl a huszadik születésnapján, már Fazekas. Nem csupán a Dózsáé, hanem az egész bajnokságé. A Népsport és a Képes Sport osztályzatai alapján is bekerült az Év csapatába, valamint beszavazták a Labdarúgás által felkért szakértők is a havilap ankétján a B-csapatba, éppen a klubjában centert játszó társ, az akkoriban már a világklasszisok közé sorolt Bene előzte meg.

1969-től külföldre szerződéséig részese volt a Dózsa minden nagy hazai és nemzetközi sikerének. Kilencszer volt bajnok (1969, 1970 tavasz, 1970–1971, 1971–1972, 1972–1973, 1987–1974, 1974–1975, 1977–1978, 1978–1979). 1969-ben, 1970-ben és 1975-ben duplázott a lila-fehérekkel, akik az élvonal aranya mellé elhódították a Magyar Népköztársasági Kupát is. Mindhárom döntőben játszott, az 1970-es, Komlói Bányász elleni 3:2-es sikerhez két találattal járult hozzá. Élvonalbeli pályafutása tizenhat idényéből mindössze egyben, 1966-ban nem végzett az első három között a Dózsával, a csapat akkor negyedik lett.

Minél „öregebb” lett, annál gólerősebben futballozott. 1975–1976-ban, 1977–1978-ban és 1979–1980-ban magyar gólkirály lett, utóbbi évadban a 36 találata ezüstcipőt (is) ért. Élete egyik legjobb mérkőzése után – 1976. május 15-én öt gólt szerzett a Ferencváros ellen a Népstadionban, a Dózsa által 8–3-ra megnyert rangadón – a Népsport tízes osztályzattal honorálta a teljesítményét.

A nemzetközi porondon szerepelt a BEK-elődöntőjében (1973–1974), a kor kiemelkedően legjobb csapatának, a Bayern Münchennek gólt lőtt a Népstadionban. Előtte a KK-ban (1967) és a VVK-ban (1968–1969) döntőt játszhatott a lila-fehérekkel. Sok elismerésben volt része, ezek közül a legjelentősebb, hogy az MLSZ 1970-ben az Év játékosának választotta. Abban az esztendőben nagy fölénnyel választották meg az Év játékosának a Labdarúgás ankétján is. 1967 és 1972 nyara között minden bajnokság végén az NB I legkiválóbb jobbszélsőjének bizonyult a Népsport osztályzatai alapján. Az 1972–1973-as idénytől kezdve három éven át ismét ő került posztján az első helyre.

1980-ban a Royal FC Antwerpen szerződtette. Bálint László után ő volt a második „modern kori” magyar válogatott játékos, aki hivatalosan külföldre szerződhetett. Négy szezont húzott le a németalföldi piros-fehéreknél (105 mérkőzésen szerzett 34 gólja kiváló teljesítmény), majd egyet a Sint-Truidenben (1984–1985). Azon kevés, a harmincadik születésnapja után külföldre került magyar játékos egyike volt, aki azonnal átvette a profik mentalitását, sztár lett Belgiumban is. Magyar varázslónak (Hongaarse tovenaarnak) nevezték el.

Edzői pályafutása egyetlen hazai állomásaként a kilencvenes évek közepén (1994–1995) Mészöly Kálmán segítője volt a válogatottnál. Belgiumban a brüsszeli Racing Jet (1985–1986), az Eendracht Aalst (1986–1988), a Harelbeke (1988–1990), ismét az Eendracht Aalst (1990–1992), a Royale Union St.-Gilloise (1992–1994), végül a Royal Antwerp FC (1995–1996) edzője volt. Élete utolsó éveiben súlyos betegséggel küzdött.

Bár évtizedeken át Belgiumban élt, a betegsége súlyosbodása miatt Spanyolországba költözött a család, abban bíztak, hogy a mediterrán éghajlat talán segíteni fog. Ha a végleges gyógyulásban nem is, de legalább a szinten tartásban.