Budapesten született 1954. május 9-én. Családjában a tenisz házi sportnak számított, édesapja és nővére rendszeresen jártak játszani a Feneketlen-tóhoz, s már hatévesen magukkal vitték Balázst is. Nem volt csodagyerek, de megszerette, s kitartó szorgalommal gyakorolta a játékot, szívesen járt az edzésekre. Hétéves korában versenyzett először, s alig volt kilenc, amikor már a tizenkét évesek között szerepelt, ezután folyamatosan a két-három esztendővel idősebbek versenyein indult, s többnyire győzött is.

Tizennégy éves korától járt külföldi viadalokra, s alig volt tizennyolc, amikor 1972-ben első profi versenyén foghatott ütőt. Egy év katonaság után, 1974-től már rendszeres vendég volt a külföldi pályákon, miközben idehaza az 1970-es években 12 bajnoki aranyérmet nyert: a felét egyesben, a másik felét párosban. 1961-68 között az Uvaterv, 1969-80 között a Vasas, 1981-től 1986-ig a nyugatnémet TC Fürth versenyzője volt.

Taróczy 1974-ben egyesben Európa-bajnok lett, s az Európa-bajnokságokon még két-két ezüst- és bronzérmet nyert 1973 és 1975 között. 1971-től 1986-ig volt a magyar teniszválogatott, 1973 és 1986 között a Davis Kupa-csapat tagja, ezalatt 97 mérkőzésen 82 győzelmet aratott egyéniben és párosban.

Hivatásos sportolóként legjelentősebb sikereit a 80-as évek első felében érte el, ebben az időszakban szinte minden "összejött" neki. 1981-ben a tizenkettedik helyen állt az egyéni világranglistán, az 1981-82-es idényben pedig pontszámuk alapján a svájci Heinz Günthardttal ők alkották a világ legjobb párosát. Abban az évben a francia nemzetközi bajnokságon, a Roland Garroson győztek férfi párosban, majd 1985-ben Wimbledonban svájci partnerével megnyerték a világ legrangosabb versenyét, az angol nyílt nemzetközi bajnokságot Wimbledonban. Magyar teniszező addig, s azóta sem tudott diadalmaskodni a tenisz szentélyében, s Taróczy máig az egyetlen magyar férfi teniszező, aki kétszer is Grand Slam-tornát nyert.

Emellett Günthardttal három alkalommal (1982, 1983, 1986) volt világbajnok férfi párosban. Taróczy aktív sportolói pályafutása során egyéniben 13, párosban pedig 26 ATP tornán diadalmaskodott, 1973 és 1986 között itthon 14 alkalommal lett az év teniszezője.

Játékos pályafutását befejezve 1989-1990-ben a jugoszláv Goran Ivanisevic és az osztrák Thomas Muster edzője volt. 1993-94-ben a Magyar Tenisz Szövetség alelnökeként a sportág menedzselésével, A-kategóriás versenyek rendezésével foglalkozott. 1997-2001-ben a Magyar Tenisz Szövetség tiszteletbeli elnöke, 2001-2004-ben szakmai igazgatója és a Davis Kupa-csapat kapitánya volt. 2004-es lemondását követően továbbra is világranglista-pontot adó versenyeket szervezett a szövetséggel közösen, s részt vett az iskolai teniszoktatás kiépítésében.

Az 1990-es évek eleje óta teniszgálákat rendez világhírű játékosok részvételével a magyar fővárosban. Meghívására olyan teniszcsillagok játszottak bemutató mérkőzéseket, mint az 1992-es Postabank Gálán Jimmy Connors, John McEnroe, Ilie Nastase és Boris Becker. Jó pár éve az ún. Tennis Classics versenyigazgatója, a tenisz jelenlegi és múltbeli nagyságainak a tornáját szervezi Björn Borg, Stefan Edberg, Jevgenyij Kafelnyikov, Ivan Lendl, Yannick Noah és más neves sportolók meghívásával.

2013 decemberében, a hatodik Tennis Classics alkalmával a francia Gaël Monfils és Jo-Wilfried Tsonga, a ciprusi Markosz Bagdatisz és a német Tommy Haas, a korábbi sztárok közül pedig az ausztrál Patrick Rafter és a volt világelső, hétszeres Grand Slam-tornagyőztes svéd Mats Wilander mutatkozott be Taróczy felkérésére a Papp László Sportarénában.

Az egyik sportcsatorna szakkommentátoraként is kipróbálta már magát, kamatoztatva ismereteit, tapasztalatait. Időnként játékosként is pályára lép, Ausztriában részt vesz a 45 év felettiek számára kiírt csapatbajnokságban.