A Jász-Nagykun-Szolnok megyei Abádszalókon született. Középiskolásként Fenyő A. Endre festő szabad iskolájában képezte magát, 1954-től a Magyar Képzőművészet Főiskolán (ma Magyar Képzőművészeti Egyetem) olyan mestereknél tanult, mint Kmetty János és Pór Bertalan, 1963-tól három évig Derkovits-ösztöndíjban részesült. Először Dunaújvárosban dolgozott, majd 1965-ben Budapestre költözött. 1975-től tanított a Képzőművészeti Főiskolán, amelynek 1990-től öt évvel későbbi nyugdíjba vonulásáig rektora is volt.

Korai művei a monokróm festészet hatását mutatják, 1967-es első tárlatán a Műcsarnokban sötét tónusú, kékes, szürkés, majdnem fekete képeket állított ki. Az erőteljesebb színek először 1969-es Változás című festményén jelentek meg, első gyűjteményes kiállítása 1972-ben szintén a Műcsarnokban nyílt meg.

A hetvenes években a magyar expresszionisták vonulatához tartozott (Az expresszionista paradicsomban, 1972; Örkény István arcképe, 1975), a nyolcvanas évek festményein már éles, pop-artos, hiperrealista képkivágások által torzított figurákkal találkozhatunk (Zárt tér, 1982). Képein általában emberi kapcsolatokat ábrázolt, gyakran groteszk túlzásokig torzítva, ezzel jelenítve meg az ember belső lelki torzulásait, az ellentmondásos világot.

Pályafutása során középületek számára is dolgozott, pannókat (mezőcsáti Művelődési Ház színházterme), mozaikokat (Országos Kardiológiai Intézet) és sgraffitókat (Szeged-Mórahalom lakótelep) alkotott. Pasztellképeket, rajzokat is készített, 1989-es bibliai témájú, vörös kréta Genezis című sorozata 22 rajzból áll, könyvek illusztrálására is vállalkozott (Somlyó György Nem titok című verskötete, 1992). Ma már expresszív hatású képeinek témája nemcsak az ember, hanem a természet, többek között a hozzá közel álló dunakanyari táj, amely kisoroszi műterme ablakaiból tárul elé.

Sváby művészi eszközei, színválasztása, ecsetkezelése, a festék felhordásának módozatai mindig benső indulatai szerint váltakoztak. Ahogy maga is megfogalmazta "mindent megfestettem, amit gondoltam", ..."festő lévén tárgyiasítom a gondolataimat, az érzéseimet, az életemet". Leginkább portréfestészete őrizte meg a hagyományos művészi formákat, figurális kompozícióiban gyakran magát is "belekomponálta".

Alkotásaiból számos egyéni és csoportos kiállítást rendeztek Magyarországon és külföldön, így Ausztriában, Dániában, Hollandiában, Franciaországban és Svájcban, 1985-ben közel félszáz művét mutatták be a berlini Magyar Kultúra Házában. Képei hazai és külföldi közgyűjteményekben és magángyűjtők kollekcióiban egyaránt megtalálhatók.

Sváby Lajost 1973-ban Munkácsy Mihály-díjjal tüntették ki, 1985-ben érdemes művész lett. 1994-ben Kossuth-díjjal ismerték el "iskolateremtő művészeti és oktatási tevékenységét", 1995-ben a londoni Kingston Egyetem díszdoktorává avatták. 2000-ben a Magyar Művészetért, 2005-ben a Prima Primissima díjat vehette át, 2007-ben lett Kisoroszi, 2009-ben szülőhelye, Abádszalók díszpolgára, 2010-ben a budapesti Román Kulturális Intézet neki ítélte Kulturális Nívódíját. 2014-ben jelent meg ars poeticának is tekinthető esszékötete Érzések, emlékek, képzetek címmel, ugyanebben az évben életművéből rendezett gyűjteményes kiállítást a Magyar Képzőművészeti Egyetem.