Orvosdinasztiából származott: nagyapja, a még Prágában született Kornfeld Sebald Szabolcs vármegyében praktizált, a család nevét ő magyarosította Korányira. Apja, Korányi Frigyes medikusként vett részt az 1848-49-es szabadságharcban, majd a kiegyezés utáni korszak egyik legkiemelkedőbb orvosa, akadémikus, az egészségügyi reformok egyik kidolgozója és megvalósítója lett, aki érdemeiért bárói rangot kapott.
Korányi Sándor a családi hagyományokat követve 1888-ban szerzett orvosi oklevelet, de már hallgatóként demonstrátor, majd gyakornok volt a kórbonctani tanszéken. Több külföldi tanulmányutat is tett, ahol elsősorban élet- és kórtani vizsgálatokat folytatott. Az orvosi pályát 1889-ben apja belgyógyászati klinikáján kezdte, emellett egy évig helyettes tanárként élettant adott elő az Állatorvosi Főiskolán. 1893-ban idegkórtanból habilitált, majd a Stefánia Gyermekkórházban, 1895-től az István kórházban dolgozott, ugyanabban az évben lett adjunktus az I. belgyógyászati klinikán, ahol 1897-től rendkívüli egyetemi tanárként oktatott. 1909-től az újonnan létrehozott III. számú belgyógyászati klinika iskolateremtő igazgatója volt, egészen 1936-ig, amikor - hetvenedik életévének betöltésekor - nyugdíjazták, intézményét megszüntették.
A 19. század végére az orvostudományban mindinkább érvényre jutott az a felfogás, hogy az ember egészségi állapotát elsősorban szervezetének működéséből lehet megítélni. Korányi mondta ki, hogy bármilyen fontos is az anatómiai diagnózis, a döntő mégiscsak az, hogy a szervezet kompenzációs mechanizmusa mennyire képes eleget tenni alapvető feladatainak. A természettudományok fejlődésével lehetővé vált a funkcionális orvosi szemlélet és a pontos kémiai-fizikai meghatározások összekapcsolása az elemzésben, a diagnosztizálásban és a gyógyításban. Ennek az irányzatnak Magyarországon Korányi Sándor lett a legkiválóbb képviselője.
Az elsők között alkalmazott fizikai-kémiai módszereket az orvoslásban, alapvető kutatásokat végzett a vesebetegségek terén. A vesék koncentrálóképességének vizsgálatához bevezette a vizelet fagyáspontcsökkenésének mérését, amit később az egyszerűbb fajsúlymérés váltott fel. A korszerű veseélettan és -kórtan nemzetközileg elismert alakja lett, felfedezte az egészséges és beteg veseműködés törvényszerűségeit, a veseelégtelenség fogalmát elsőként ő határozta meg.
Az akkoriban népbetegségnek számító tbc-t már nem csupán kórházi kérdésként, hanem társadalmi problémaként fogta fel, melynek megoldása túlnyúlik az orvosi szakmán. A húszas években ő kezdeményezte a betegség elleni BCG-oltásokat. Foglalkozott a szív ritmuszavarainak kórtanával, felismerte a cukorbetegek vércukor-növekedésének kompenzáló szerepét.
Iskolateremtő tanáregyéniség volt, olyan tanítványokkal, mint Bálint Rezső, Haynal Imre, Hetényi Géza, Magyar Imre, Rusznyák István, módszerét klinikai vezetőként ők vitték tovább. Korányi Sándor a Magyar Tudományos Akadémiának 1915-ben lett levelező, 1935-ben tiszteleti, majd 1937-ben rendes tagja. Szintén tagjává választotta a hallei Leopoldina Német Természettudományi Akadémia, illetve tiszteletbeli doktorává avatta számos egyetem, köztük Breslau (Wroclaw), Lyon, Szeged, Pécs és Athén.
Számos bel- és külföldi folyóiratban publikált. A központi idegrendszer tipicus diagnosztikája és Az ideggyógyászat alapvonalai című tankönyvek szerzője, a Belgyógyászat kézkönyvének, a Magyar Orvosi Archívumnak, az Orvosi Hetilapnak és a Pallas Nagy Lexikonának is munkatársa volt.
1944. április 12-én Budapesten hunyt el. Az akkori Ludoviceum utca, ahol klinikája állt, ma az ő nevét viseli. Emlékét őrzi az évente megrendezett Korányi Sándor Hipertónia-Nefrológia nap.